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Precalienta el horno a 190 °C. Corta la patata pelada en cilindros gruesos y regulares para formar las patatas fondant.
Derrite 10 g de mantequilla en una sartén apta para horno. Dora las patatas por sus dos caras a fuego medio hasta que adquieran un color uniforme.
Añade 50 ml de fondo oscuro y la mitad del tomillo. Introduce la sartén en el horno y cocina las patatas durante 25-30 minutos, regándolas ocasionalmente con el líquido, hasta que estén tiernas y doradas.
Divide el solomillo en cuatro porciones de 120 g. Practica una incisión profunda en el centro de cada medallón sin atravesarlo por completo.
Divide el queso de cabra en cuatro porciones de 20 g e introduce una dentro de cada medallón. Presiona la abertura para cerrarla y da forma redondeada a la carne.
Calienta una sartén a fuego alto y derrite los 5 g de mantequilla restantes. Marca los medallones durante 2-3 minutos por cada lado, incluyendo brevemente los bordes.
Termina los medallones en el horno durante 4-7 minutos, según el punto de cocción deseado. Retíralos y déjalos reposar durante 5 minutos.
Pela y pica finamente la chalota. Incorpórala a la sartén utilizada para la carne y cocínala a fuego medio durante 2-3 minutos.
Agrega el vino tinto y el tomillo restante. Desglasa el fondo de la sartén y deja reducir el vino a fuego medio-alto hasta aproximadamente un tercio de su volumen.
Añade los 50 ml restantes de fondo oscuro y cocina durante 5-7 minutos más, hasta obtener una salsa concentrada y ligeramente espesa. Cuélala si se desea una textura más fina.
Sirve un medallón relleno en cada plato, acompáñalo con la patata fondant y termina con la reducción de vino tinto.